第29讲：《积分与路径无关、全微分方程》内容小结、课件与典型例题与练习
一、积分与路径无关的等价描述
定理 设 为 平面上的单连通区域，函数 , 在 内有连续的一阶偏导数，则下面的四种描述等价：
(1) 对于任何一条完全落在区域 内的光滑或分段光滑的闭曲线 ，有
(2) 对于区域 内的任何两点 ，积分
的值只与 两点的位置有关，而与 间 的曲线在区域 内的路径无关.
(3) 在区域 内存在可微函数 ，使得
(4) 在区域 内恒有
二、原函数与曲线积分基本定理
对于单连通区域 上的微分式 ，若存在 上的可微函数 ，使得
则称函数 为微分式 的原函数，如果微分式与向量场
对应，则函数 也称为向量场 的势函数，并且有
由积分与路径无关，通过取如下两条路径，可分别计算得到原函数
【注1】 积分路径上（包括端点）不能有被积函数偏导数不连续的点.
【注2】 除了以上基于积分与路径无关的思路计算全微分表达式的原函数外，也可以基于偏导数的不定积分，或者凑微分的方式来计算微分式的原函数. 具体求解思路与方法可以参考课件中给出的例题以后续推出的例题与练习详细参考解答！
曲线积分基本定理：如果 是 的原函数，则
积分式中的 是沿着积分路径 点移动到 ，， 分别表示 点对应的函数值与 点对应的函数值。
【注3】 以上原函数的定义与曲线积分基本定理同样适用于三元函数及其对应的微分表达式与曲线积分.
三、判断向量场为保守场与积分路径无关的条件
对于单连通区域 内的向量场
如果 和 有连续的偏导数，且
则向量场 为保守场且积分
与路径无关.
对于向量场 ，如果 有连续的偏导数，且
即
则向量场 为保守场且积分
与路径无关.
【注】 当积分与路径无关时，则可以自定义路径计算指定路径上的曲线积分！注意选择的路径不能经过函数偏导数不连续的点！
四、求全微分方程通解的基本步骤与思路
第一步：判定方程类型
将一阶微分方程改写成
形式，并判定
是否成立，如果成立则为全微分方程；
第二步：计算原函数
常用方法是利用积分与路径无关，任取一定点 为起点，终点为变量 构成的点为积分路径，选取特殊路径求得原函数 的表达式（一般路径选取为平行于坐标轴的直线段为积分路径），如取先平行于 轴，再平行于 轴的路径，有
或取先平行于 轴，再平行于 轴的路径，有
当然原函数 的计算也可以通过偏导数的不定积分，或者凑微分方式来得到.
第三步：直接写出通解.
令 即得原微分方程的隐式通解就为
也就是说，只要得到微分式的原函数，就可以直接得到全微分方程的隐式通解.
【注】 值得注意的是，选取的路径不能经过两个函数偏导数不连续点。
五、积分因子法
如果微分方程
不是全微分方程，还可以考虑对微分方程等式两端乘以一个函数 ，使得
为一个全微分方程，那么函数 称为原微分方程的一个积分因子. 从而使得
可以采用全微分方程的求解步骤得到微分方程的解。对于这样求解微分方程通解的方法称之为积分因子法。
【注1】 对于一个微分方程，积分因子不唯一. 具体例子可以参考课件！
【注2】 注意乘以积分因子可能会增减原微分方程的解！
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！
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